京都大学 京都大学

Foundations of Modern Mathematics A

Numbering Code U-SCI00 11004 LJ55 Year/Term 2022 ・ First semester
Number of Credits 2 Course Type Lecture
Target Year 1st year students or above Target Student
Language Japanese Day/Period Mon.5
Instructor name HIRAGA KAORU (Graduate School of Science Senior Lecturer)
Outline and Purpose of the Course 現代数学では、様々な概念を明確な定義に基づいて理論を構築し、厳密な論理によって各種の定理等を証明していく。現代数学へとつながる大学での数学関係の科目では、高校数学に比べ、概念の抽象度が上がり、現れる主張もより複雑なものが多くなるが、その分汎用度は増し、より強力な応用も得られる。
この科目では、数学とそれに関連する諸科学に興味のある学生に向けて、現代数学の取り扱いに不可欠な数学的な論理や集合・写像の概念について基礎から解説する。また、実数論の基礎や数列の収束の問題などのいくつかのトピックスに関連する問題演習を通じて、定義・定理・証明を理解し、さらに数学的証明を自分で書く力を付けることを目標とする。
Course Goals 現代数学の理論的構築について理解し、そこに現れる論理・集合・写像などの概念と取り扱いについて習熟する。
定義や証明を理解し、自分自身で証明を書くための作法を身につける。
Schedule and Contents いくつかのトピックスに関して、講義と演習を行う。
１．論理・集合・写像（3週～4週）
２．実数の定義と連続性（3週～4週）
３．数列・級数・関数の収束とε-δ論法（3週～4週）
４．置換群とその作用（1週～2週）
５．その他のトピックス（1週～2週）
講義では必ずしもこの順序で扱うとは限らない。
原則として、1回講義を行い、その次の回に演習というサイクルで進める。
フィードバックも含めて15回の授業を行う。
Course Requirements 「微分積分学Ａ（講義・演義）」および「線形代数Ａ（講義・演義）」を平行して受講することが望ましい。
Study outside of Class (preparation and review) 演習問題を自分で解いてみることは必須である。解答例も配布する予定なので、できなかった場合にもそれを参考にしてもう一度挑戦すること。
References, etc. 大学数学ベーシックトレーニング, 和久井道久, (日本評論社)
わかっているようでわからない数と図形と論理の話, 西田吾郎, (京都大学学術出版会)
新入生のための数学序説, 高崎金久, (実教出版)
集合・写像・論理ー数学の基本を学ぶ, 中島匠一, (共立出版)
微分積分学III　実数論講義, 赤攝也, (日本評論社)
その他にも、必要に応じて授業中に紹介する。
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