京都大学 京都大学

Introduction to Geometry

Numbering Code U-SCI00 22104 LJ55 Year/Term 2022 ・ Second semester
Number of Credits 2 Course Type Lecture
Target Year 2nd year students or above Target Student
Language Japanese Day/Period Wed.3
Instructor name IRITANI HIROSHI (Graduate School of Science Professor)
Outline and Purpose of the Course 微分積分・線形代数・位相空間論・初歩の群論を基に、幾何学の初歩を学ぶ．幾何学I，IIへの導入的な内容で，次の三つの項目をカバーする．

1．位相空間の基本群と被覆空間
2. ユークリッド空間に埋め込まれた多様体の初歩
3. 曲面の微分幾何学の基本的事項
Course Goals 1.位相空間の基本群と被覆空間の定義と基本性質を理解し，基本的な例を知る．
2.ユークリッド空間に埋め込まれた多様体について，その定義，接空間，多様体の間の滑らかな写像や接写像などの概念を理解し，具体例を知り計算ができる．
3.曲面の微分幾何学のうち，曲率など基本的事項を理解し具体例において計算ができる．
Schedule and Contents 以下の事項について計15回講義する(フィードバックを含む)．受講者の理解度や講義の進行状況に応じて変動があるが，およそ各項目を1回で行う．また順番も前後することがある．[発展]に関しては時間が許せば扱う．

(I) 基本群と被覆空間

* 写像・道のホモトピー
* 基本群の定義とその性質
* 被覆空間の定義と例
* 基本群と被覆空間の関係
* ファン・カンペンの定理

(II) ユークリッド空間内の多様体
　
* 陰関数定理・逆関数定理の復習
* ユークリッド空間に埋め込まれた多様体の定義と例
* 多様体の接空間
* 多様体の間の滑らかな写像とその微分
* 写像の正則値
* [発展] サードの定理
* [発展] 写像度
* [発展] ポアンカレ・ホップの定理

(III) 3次元ユークリッド空間内の曲面

* 3次元空間内の曲面の定義と例
* 曲面の第一基本形式
* 曲面の第二基本形式とガウス曲率
* [発展] 曲面上の測地線
* [発展] ガウス・ボンネの定理
Course Requirements 「微分積分学A,B」「線型代数学A,B」および「集合と位相」の基本的知識を前提とする．ただしこれらの講義を受講していなくてもかまわない．また，基本群と被覆空間では群論のごく初歩を使う．「代数学入門」の序盤を知っているとよい．
Study outside of Class (preparation and review) 具体例を知り，問題を解くことが理解を助ける．特に，講義中扱う一部の命題の証明や具体例の計算などは演習での問題として扱う予定なので，並行して開講する演習は理解に役立つ．
References, etc. Topology from the differential view points, J. Milnor, (Princeton Univ. Press)
曲線と曲面の微分幾何, 小林昭七, (裳華房)
トポロジー入門, 小島定吉, (共立出版)
多様体の基礎, 松本幸夫, (東京大学出版会)
幾何学I 多様体入門, 坪井俊, (東京大学出版会)
参考書については講義中に適宜紹介する．また，この講義で扱う内容については文献が多数あるので，挙げた参考書以外のものを利用しても構わない．
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