京都大学 京都大学

Mathematics for Informatics I

Numbering Code U-HUM22 18212 LJ10 Year/Term 2022 ・ First semester
Number of Credits 2 Course Type Lecture
Target Year From 1st to 4th year students Target Student
Language Japanese Day/Period Mon.3
Instructor name Hiroyuki Miyoshi (Part-time Lecturer)
Outline and Purpose of the Course 1980年代以降，コンピュータ科学，中でも特にプログラムの理論において圏論は大きな役割を果 たしてきました。一方でコンピュータ科学から新しい圏論の問題も見出され，相互に刺激しあって発展しています。この講義ではそれらを学ぶための圏論の基礎について講義を行います。特に圏論の中心的概念である普遍性について理解することを目的とします。 　
数学を専門としていない学生を主に想定しているため，意図的にかなり時間をかけて丁寧に進める予定ですので，教科書の後半部分や，圏論のコンピュータ科学への応用，さらには最近盛んになってきた応用圏論については情報数学IIで扱います。（一方で，数学が得意な学生には進度が遅すぎて不満が残るかもしれませんが，教科書の記述が丁寧なので自力で教科書を読み進めることもできると思います）。 　
教科書が英語であるために敬遠する学生もいるかもしれませんが，できるだけ講義を聴くだけでも理解可能であるように心がけるつもりですので，英語が得意ではない学生にもぜひ履修して欲しいと思います（教科書のドラフトも無償公開されていますので最初は様子見でも構いません）。 　
また最近盛んになってきた応用圏論は自然科学のみならず，人文科学，社会科学からも注目されており，新しい視点，新しい応用を見出すことが期待されています。そのような興味を持つ学生にとってもこの講義を通じて圏論の基礎を身に付けるよい機会になることも期待しています。
Course Goals 圏論の基本的な定義や定理を理解する。それらを通じて普遍性の考え方を理解する。
Schedule and Contents （０）圏論の紹介【1週】：
圏という数学的対象とその性質の直観的な紹介を行い，いくつかの分野での圏論の使われ方の紹介をします。

（１）圏の基本的な定義【3週】：
圏の定義，対象，射，関手，同型，圏の直積，逆圏，射圏，スライス圏， モノイド，グラフ，サイズの問題

（２）圏論で現れる抽象的概念【3週】：
エピ，モノ，始対象，終対象，一般化元，積，Hom集合など

（３）双対性【2週】：
双対性の原理，余積，イコライザ，コイコライザ

（４）極限と余極限【2週】：
部分対象，プルバック，極限，極限の保存，余極限

（５）冪【3週】：
冪対象，カルテシアン閉圏，λ計算との関係

（６）授業フィードバック【1週】：
これまでの授業全体に関しての質問を受け付ける時間とします。

※講義の内容や進度は学生の理解度によって調整します。
Evaluation Methods and Policy レポート課題で評価する（素点評価）
目標とする理解度に到達しているかどうかで評価する。具体的には設定した条件を満たしているか，内容のポイントを押さえているか，記述が明解かどうかなどによって評価する。
Course Requirements None
Study outside of Class (preparation and review) 復習をしっかりすること。
Textbooks Textbooks/References ベーシック圏論, T. レンスター著，斎藤恭司監訳，土岡俊介訳, (丸善出版, 2017), ISBN:9784621300701, マックレーンやAwodeyの本とはかなり構成が異なる。モナドは扱っていない。
References, etc. Category Theory, Second Edition, Steve Awodey, (Oxford University Press, 2010), ISBN:9780199237180, 邦訳もあるが品質が良くないので避けた方がよい。またKindle版は図式が崩れていて読めないので避けた方がよい。
圏論の基礎, S. マックレーン著，三好博之・高木理訳, (丸善出版, 2012), ISBN:9784621063248, 数学では標準的に参照されるテキストだが，記号などがやや古めかしい。
Related URL http://www.andrew.cmu.edu/course/80-413-713/notes/
https://www.math.mcgill.ca/barr/papers/ctcs.pdf
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