力学系の数学

科目ナンバリング U-ENG29 39080 LJ55
U-ENG29 39080 LJ10
開講年度・開講期 2022 ・ 前期
単位数 2 単位 授業形態 講義
配当学年 対象学生
使用言語 日本語 曜時限 火3
教員 矢ヶ崎 一幸 (情報学研究科 教授)
授業の概要・目的 力学系は,微分方程式系に代表される,時間と共に変化する数学モデル全般を表し,また,19世紀の偉大な数学者ポアンカレの研究に始まった、それらを研究対象とした数学分野である.分岐やカオスなどの非線形現象を取り扱う理論や方法を提供し,自然科学から社会科学に至るまで,時間と共に変化する現象は数多く存在するため,その応用範囲は非常に広い.本講義では,微分方程式系を中心に,力学系理論の基本的な事柄について学ぶ.
到達目標 (1) 微分方程式系や写像における平衡点や不動点近傍の軌道の挙動を理解
(2) 分岐やカオスなどの非線形現象が起こるメカニズムを理解
(3) 力学系で用いられる基本的な手法の習得
授業計画と内容 (1) 力学系の例【1週】
写像あるいは微分方程式で与えられる,いくつかの代表的な力学系を取りあげ,数値シミュレーションの結果を示して,これらの系で起こる現象を概観する.
(2) 力学系の初歩【5から6週】
微分方程式の基礎的事項を復習し,力学系の初歩となる,ポアンカレ写像,安定性,線形系のダイナミクス,不変多様体について解説する.
(3) 局所分岐【4から5週】
平衡点の分岐,中心多様体縮約,標準形,不動点の分岐について解説する.
(4) カオス【3から4週】
馬蹄写像とホモクリニック定理,メルニコフの方法について解説する.
(5) まとめと学習到達度の確認【1週】
講義内容の補足とまとめ,および学習到達度の確認を行う.
授業回数はフィードバックを含め全15回とする.
成績評価の方法・観点 小テスト(20%)やレポートおよび定期試験(80%)
履修要件 微分積分学A・B,線形代数学A・B,自然現象と数学,微分積分学続論I・II,線形代数学続論,工業数学A1を履修していることが望ましい.
授業外学習(予習・復習)等 予習,復習を行い,KULASISやPANDAに掲載する演習問題を解くなどして,講義やプリントの内容をよく理解すること.
教科書 プリントを配布
参考書等 K.T. Alligood,T. Sauer,J.A. Yorke著, 津田 一郎監訳,カオス第1-3巻,力学系入門,シュプリンガー・ジャパン isbn{}{4431712364} isbn{}{4431712372} isbn{}{9784431712381}
M.W. Hirsch,S. Smale,R.L. Devaney著,桐木紳・三波篤郎・谷川清隆・辻井正人訳,力学系入門 ― 微分方程式からカオスまで ―,共立出版 isbn{}{9784320111363}
J. Guckenheimer,P. Holmes著, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer isbn{}{0387908196}
J.D. Meiss, Differential Dynamical Systems, SIAM isbn{}{9780898716351}
S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer isbn{}{0387001778}
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