最適化(数理)

科目ナンバリング U-ENG29 39079 LJ54
U-ENG29 39079 LJ10
開講年度・開講期 2022 ・ 後期
単位数 2 単位 授業形態 講義
配当学年 対象学生
使用言語 日本語 曜時限 水2
教員 永持 仁 (情報学研究科 教授)
山下 信雄 (情報学研究科 教授)
原口 和也 (情報学研究科 准教授)
授業の概要・目的 解決すべき問題をいくつかの変数と数式を含む数学モデルに定式化し、それを定められた計算手順(アルゴリズム)を用いて解くための方法論は最適化あるいは数理計画と呼ばれ、これまで様々な手法が開発され、現実の様々な意思決定の場において広く用いられている。この講義では、特に非線形最適化と組合せ最適化における基本的な方法について講述する。
到達目標 連続的最適化と離散的最適化の理論とアルゴリズムの基本的な事柄を理解する.
授業計画と内容 第1,2回 非線形最適化の基礎:最適化問題の大域的最適解と局所的最適解,凸集合と凸関数,関数の勾配とヘッセ行列などの基礎的事項の意味と性質を説明する.

第3,4回 制約なし最適化の手法: 最急降下法,ニュートン法,準ニュートン法,共役勾配法など,制約なし最適化の基本的な手法について説明する.

第5,6回 最適性条件と双対性:制約つき最適化問題の最適性条件であるカルーシュ・キューン・タッカー条件や2次の最適性条件について説明する.さらに,ラグランジュの双対理論にも言及する.

第7回 制約つき最適化の手法:制約つき最適化問題に対する代表的な手法であるペナルティ法や逐次2次計画法について説明する.

第8回 離散最適化(組合せ最適化)問題:巡回セールスマン問題やナップサック問題など,代表的な組合せ最適化問題を紹介し,その困難さに言及する.

第9回 離散最適化に対する厳密解法の基本戦略である分枝限定法の考え方を説明し,ナップサック問題に対し分枝限定法を設計する.

第10回 分枝カット法の紹介.離散最適化に対する厳密解法の基本戦略である動的計画法の考え方を説明し,ナップサック問題に対する動的計画法(サイズ版)を設計する.

第11回 ナップサック問題に対する動的計画法(利得版)を設計する.ナップサック問題に対する制度保証付き近似アルゴリズムを設計する.

第12回 文書整形問題,トラベリングセールスマン問題(TSP)に対する動的計画法を設計する.

第13回 最大マッチング問題と最小節点カバー問題の双対ギャップについて説明する.
最小節点カバーの2倍近似アルゴリズムを設計する.

第14回 最小木問題に対する整数計画問題の緩和線形計画問題について説明する.

<期末試験>
第15回 フィードバック
成績評価の方法・観点 演習課題と期末試験の成績による。
履修要件 線形計画(90690)を履修しておくことが望ましい。
授業外学習(予習・復習)等 後半の離散最適化では毎回課題を出題する。
参考書等 福島雅夫 : 新版・数理計画入門,朝倉書店 (ISBN-13: 9784254280043),
柳浦睦憲, 茨木俊秀:組合せ最適化―メタ戦略を中心として, 朝倉書店 (ISBN-10: 4254275129)
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