非線型解析

科目ナンバリング U-SCI00 33149 LJ55 開講年度・開講期 2021 ・ 後期
単位数 2 単位 授業形態 講義
配当学年 3回生以上 対象学生
使用言語 日本語 曜時限 月2
教員 宮路 智行 (理学研究科 准教授)
Svadlenka Karel (理学研究科 准教授)
授業の概要・目的 本講義では,非線型の常微分方程式や偏微分方程式を数学的に解析するための基礎となる理論と方法を習得することを目的として,主として常微分方程式の解の定性理論と変分法の基礎について講述する.
到達目標 微分方程式の非線型解析の基礎的理論を理解し,具体的な方程式の解析のための方法を習得する.
授業計画と内容 以下の諸項目について,合計15週の授業(フィードバックも含む)を行う:
1.常微分方程式の非線型解析【3~4週】
 ・常微分方程式と力学系
 ・力学系の構造安定性
 ・平衡点の双曲性と構造安定性
 ・双曲型平衡点の安定多様体
2.常微分方程式の分岐理論【3~4週】
 ・力学系の分岐とは
 ・中心多様体定理(具体例の計算も含む)
 ・余次元1の分岐 (saddle-node 分岐,Hopf 分岐)
 ・余次元2の分岐,分岐曲線の追跡
 ・*対称性のある力学系の分岐
3. 変分法の数学解析【6~8週】
 ・最小化問題の解とオイラーラグランジュ方程式の関係
 ・極値のための必要条件と十分条件
 ・直接法による最小値の存在定理(Tonelliの定理)
 ・重積分の変分解析への入門
 ・正則性理論の基礎
 ・物理現象に関係する具体例とその解析(極小曲面,拘束条件など)
 ・*最適化問題の数値計算
 ・*変分構造を持つ発展問題(勾配流,ハミルトン原理)
 (*は講義時間に余裕があれば扱うトピックである)

1.と2.のトピックは宮路,3.のトピックはシュワドレンカが担当する.
受講者の理解状況に応じて講義担当者が適切に配分を決める.講義の進め方については適宜指示し,受講者が予習できるよう十分に配慮する.
履修要件 微分積分学/同続論や線形代数,集合と位相についての2回生までの数学科目の基礎的な素養は前提とする.また2回生後期の非線型解析入門と3回生前期の微分方程式論と3回生後期の函数解析学は理解の助けとなるので履修していることが望ましい.
授業外学習(予習・復習)等 講義の進展に応じ,予習・復習すべきことを適宜指示して,受講者が講義内容を十分に理解できるよう配慮する.
参考書等 Ordinary Differential Equations with Applications, C. Chicone, (Springer)
Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, J. Guckenheimer and P. Holmes, (Springer)
Introduction to the Calculus of Variations, B. Dacorogna, (Imperial College Press)
Functional Analysis, Calculus of Variations and Optimal Control, F. Clarke, (Springer)
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