数学特別講義10

科目ナンバリング U-SCI00 17111 LJ55 開講年度・開講期 2021 ・ 通年集中
単位数 1 単位 授業形態
配当学年 1回生以上 対象学生
使用言語 日本語 曜時限 集中
教員 福本 善洋 (非常勤講師)
加藤 毅 (理学研究科 教授)
授業の概要・目的 ☆微分幾何学Ⅰ☆
3次元球面のホモロジー群と同型なホモロジー群をもつ有向3次元閉多様体はホモロジー3球面とよばれ,フリードマンの定理により,いつでもコンパクトで可縮な4次元位相多様体の境界として表される.ホモロジー同境は,この「可縮な4次元位相多様体」を「4次元球体のそれと同型なホモロジー群をもつ滑らかな4次元多様体」に置き換えたもので,このことはもはや一般には成立しない.またこのことは微分構造を許容しない4次元位相多様体の存在をも意味する.本講義では,滑らかな4次元多様体上で「モノポール」とよばれる物理的対象を記述する非線形偏微分方程式を考える「ザイバーグ・ウィッテン理論」への入門として,その基礎から概観し,ホモロジー同境の問題への応用を議論する.
到達目標 ザイバーグ・ウィッテン理論の設定の基礎となる概念や理論の機構を理解し,いろいろなホモロジー3球面を境界にもつ4次元多様体に対して,これを応用できるようになること.
授業計画と内容 1. ベクトル束の接続と曲率,特性類
2. 4次元多様体の符号数とロホリンの定理
3. ザイバーグ・ウィッテン方程式
4. モノポール・モジュライ空間
5. ホモロジー同境の問題への応用
履修要件 多様体論の基礎を学習していることが望ましい
授業外学習(予習・復習)等 授業中に出された例や演習課題などに自分で手を動かして取り組んでほしい.
参考書等 サイバーグ・ウィッテン理論とトポロジー, J. W. モーガン (著), (二木 昭人 (翻訳) 培風館)
R. Fintushel, R. J. Stern, R. Fintushel, R. J. Stern, ( Ann. Math. 122 (1985) 335-364.)
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