偏微分方程式

科目ナンバリング U-SCI00 44118 LJ55 開講年度・開講期 2021 ・ 前期
単位数 2 単位 授業形態 講義
配当学年 4回生以上 対象学生
使用言語 日本語 曜時限 金3
教員 堤 誉志雄 (理学研究科 教授)
授業の概要・目的 偏微分方程式は、力学現象、熱伝導現象、波動現象、流体現象等の自然現象に対する数学的モデルとして様々な場面に現れ、それらの現象を解析する手段として研究が活発に行われている。本講義では数理物理学において現れる典型的な偏微分方程式の解の基本的な性質(存在、一意性、解の評価等)を理解することを目標とする。
到達目標 ・偏微分方程式の解の基本的な性質を理解する。
・複素函数論、ルベーグ積分論、関数解析等で学んだ基礎的な理論と応用を、偏微分方程式の解析を通して理解する。
・諸科学における偏微分方程式の役割と位置づけ等について理解する。
授業計画と内容 以下の各項目について合計15回の授業(フィードバックを含む)を行う。各項目には、受講者の理解の程度を確認しながら、()で指示した週数を充てる。各項目・小項目の講義の順序は固定したものではなく、講義方針と受講者の背景や理解の状況に応じて適切に決める。

(1)Cauchy-Kowalevskyの定理(2回程度)
(2)超関数と基本解(4回程度)
(3)熱方程式と波動方程式の初期値問題(2回程度)
(4)楕円型方程式の境界値問題とSobolev空間(4回程度)
(5)半群理論(Hille-Yosidaの定理)と発展方程式の初期値問題(2回程度)
(6)フィードバック(1回)
履修要件 微分積分学、線形代数学、ルベーグ積分論の知識は、本講義を履修するにおいて必要である。また、関数解析の基本的な知識を必要とする。
授業外学習(予習・復習)等 レポート問題等に対して積極的に取り組むこと。
ルベーグ積分論、関数解析について復習しておくこと。
参考書等 偏微分方程式, 熊ノ郷準, (共立出版), ISBN:978-4320011052, 偏微分方程式の基本事項が解説されている良書
偏微分方程式入門, 金子晃, (東大出版会), ISBN:978-4-13-062903-4, 具体例を通して偏微分方程式が解説されている良書
偏微分方程式論入門, 井川満, (裳華房), ISBN:978-4-7853-1315-9, 偏微分方程式の基本事項が解説されている良書
偏微分方程式論, 溝畑茂, (岩波書店), ISBN:4000059718, 超関数論を用いた偏微分方程式論が解説された古典的名著
関数解析, 宮寺功, (理工学社), ISBN:9784844501237, Bochner積分とHille-Yosidaの定理が詳しく解説されている
Partial Differential Equations, F. John, (Springer), ISBN:0-387-90609-6, 偏微分方程式の古典的な扱いが書かれた本
Partial Differential Equations, L. C. Evans, (American Mathematical Society), ISBN:978-0-8218-0772-9, 基礎から発展的話題まで幅広く書かれている本
Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, D. Gilbarg and N. S. Trudinger, (Springer), ISBN:978-3540411604, 2階楕円型方程式の古典的名著
Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, H. Brezis, (Springer), ISBN:978-0-387-70913-0, 関数解析の立場から偏微分方程式を解説した本
Distributions, Partial Differential Equations, and Harmonic Analysis, D. Mitrea, (Springer), ISBN:978-1-4614-8207-9, 調和解析の立場から偏微分方程式を解説した本
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