微分方程式論

科目ナンバリング U-SCI00 33146 LJ55 開講年度・開講期 2021 ・ 前期
単位数 2 単位 授業形態 講義
配当学年 3回生以上 対象学生
使用言語 日本語 曜時限 木2
教員 坂上 貴之 (理学研究科 教授)
授業の概要・目的 本講義では、常微分方程式に関する発展的な事項を解説する。常微分方程式は、時間発展を記述するモデル方程式として数理科学の様々な局面で現れると同時に、偏微分方程式を具体的に解く際にも現れる重要な数学的対象である。本講義では、以下の「授業計画と内容」の項に挙げるいくつかの話題について、関数解析的・複素解析的な方法に基づく理論的な取扱いを中心として、適宜応用例も交えながら理解を深めることを目標とする。
到達目標 常微分方程式の基本事項から発展的な内容について理解する。特に、微分方程式の解の構成方法,Sturm-Liouville 型常微分方程式の境界値問題や複素領域の常微分方程式の数学的な取扱いを習得する。
授業計画と内容 以下に挙げる常微分方程式の話題について、合計15回の授業(フィードバックも含む)を行う。

理論的な側面を重視しつつ、応用例も交えながら解説する。各項目には括弧内で指示した週数を充当する。各項目・小項目の講義の順序については、担当者の講義方針と受講者の理解の状況に応じて、担当者が適宜決定する予定である。

(a) 常微分方程式の初期値問題の解の存在定理【4~5週】
・コンパクト距離空間上の連続関数の空間(Banach空間)
・アスコリ・アルツェラの定理
・縮小写像の定理を用いた解の構成
・連続関数に対する解の存在定理

(b) 二階線型微分方程式の境界値問題(Sturm-Liouville 理論)【4~5週】
・自己共役作用素
・グリーン関数とそれを核とする積分作用素のコンパクト性
・Sturm-Liouville 固有値問題
・固有関数列の完備性

(c) 確定特異点型微分方程式【4~5週】
・べき級数解
・確定特異点
・フロベニウスの方法
・数理物理に現れる特殊関数(Bessel関数やLegendre関数)
・Fuchs型方程式
履修要件 本講義では,微分積分学A・B(講義・演義),線形代数学A・B(講義・演義),微分積分学続論II,関数論 および 集合と位相 の履修を前提として行われます.
授業外学習(予習・復習)等 講義の進展に応じ、復習すべきことを適宜指示して、受講者が講義内容を十分に理解できるよう配慮する
教科書 特に指定しない
参考書等 微分方程式の基礎 (数理科学ライブラリー), 笠原 晧司, (朝倉書店), ISBN:978-4254114157
ポストモダン解析学 原著第3版, J. ヨスト, (丸善出版)
積分方程式論, 吉田耕作, (岩波全書)
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