解析学II

科目ナンバリング U-SCI00 33145 LJ55 開講年度・開講期 2021 ・ 後期
単位数 4 単位 授業形態 講義
配当学年 3回生以上 対象学生
使用言語 日本語 曜時限 金2・3
教員 宍倉 光広 (国際高等教育院 教授)
授業の概要・目的 解析学Iにおける測度論、ルベーグ積分論に引き続き、現代解析学の基礎を成すフーリエ級数、フーリエ変換、超関数の理論について講義する。これらは函数解析、微分方程式、確率論などの解析学のすべての分野で必須となる基礎知識である。
到達目標 フーリエ級数、フーリエ変換、超関数の理論の入門的事項を理解し、それらの運用能力を身に着ける。
授業計画と内容 下記の項目について講義と演習を行う。原則として、2限に講義、3限に演習を行う。
授業回数は15回(フィードバックも含む)。

1.函数空間(3~4週)
Banach 空間・Hilbert 空間の定義、L^p 空間とその性質

2.Fourier 級数(3~4週)
Fourier 級数の定義、Fourier 級数の収束(一様収束、Cesaro総和法、L^2収束)、Gibbs 現象、Fourier 級数の応用

3.Fourier 変換(3~4週)
Fourier 変換の定義、L^1, L^2のFourier変換、Riemann-Lebesgueの定理、反転公式、
急減少函数の空間、Plancherelの定理、合成積の性質、Fourier 変換の応用(偏微分方程式)

4.超函数(3~4週)
超函数の概念、緩増加超函数、超函数のFourier変換、超函数の応用(偏微分方程式)
履修要件 解析学Iを履修しておくことが望ましい。微分積分学・線型代数学・集合と位相などの基礎知識を仮定する。
授業外学習(予習・復習)等 十分な時間をかけて復習すること。
参考書等 新・フーリエ解析と関数解析学, 新井仁之, (培風館), ISBN:456301141X
フーリエ解析入門, スタイン・シャカルチ, (日本評論社), ISBN:4535608911
実関数とフーリエ解析, 高橋陽一郎, (岩波書店), ISBN:4007305366
実解析入門, 猪狩惺, (岩波書店), ISBN:4000054449
シュワルツ超関数入門, 垣田高夫, (日本評論社), ISBN:4535601267
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