幾何学I

科目ナンバリング U-SCI00 33142 LJ55 開講年度・開講期 2021 ・ 前期
単位数 4 単位 授業形態 講義
配当学年 3回生以上 対象学生
使用言語 日本語 曜時限 水2・3
教員 加藤 毅 (理学研究科 教授)
授業の概要・目的 多様体について基本的な事項を説明する.
多様体は局所的にユークリッド空間と同一視される位相空間であり,高次元の空間概念としてもっとも確立されたものである. 多様体は幾何学の基礎であるだけではなく, 現代数学の多くが多様体上で行われるという意味で, 現代数学全体の基礎でもある.
到達目標 多様体に関する基礎的な概念(局所座標,微分,ベクトル場,微分形式など)を理解し, 自由に使いこなせるようになること.
授業計画と内容 次の内容を各々1-2回づつ,計15回講義する.適宜演習も行う.時間の許す範囲で発展的な内容にも触れる.

1.(ユークリッド空間に埋め込まれていない)多様体の定義
2.多様体上の滑らかな関数,多様体の間の滑らかな写像
3.接空間,多様体の間の滑らかな写像の微分,チェインルール
4.はめ込み,沈め込み,埋め込み,部分多様体
5.臨界点,正則値,サードの定理
6.射影空間
7.1の分割
8.ベクトル場とその積分曲線
9.余接空間,微分形式
10.外微分,積分,ストークスの定理
履修要件 多変数関数の微積分学,線形代数学,位相空間論(集合と位相)は既知とする. ユークリッド空間に埋め込まれた多様体(幾何学入門)についてもなじみがある事が望ましいが, 必須ではない.
授業外学習(予習・復習)等 予習は必要ないが, 毎回復習することが望ましい. まず定義を覚え, 様々な概念の関係を理解すること. また毎回出される演習問題については, 計算を含めてしっかり復習すること. それによって理論がより身につくようになる.
参考書等 多様体の基礎, 松本幸夫, (東京大学出版会)
微分形式の幾何学, 森田茂之, (岩波書店), 1章と2章
Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, F. Warner, (Springer)
幾何学I 多様体入門, 坪井俊, (東京大学出版会)
幾何学III 微分形式, 坪井俊, (東京大学出版会)
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