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現在位置: ホーム ja シラバス(2020年度) 理学研究科 数学・数理解析専攻 位相幾何学大学院講義

位相幾何学大学院講義

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科目ナンバリング
  • G-SCI11 90403 LJ55
開講年度・開講期 2020・前期
単位数 2 単位
授業形態 講義
配当学年 修士
対象学生 大学院生
使用言語 日本語
教員
  • 加藤 毅(理学研究科 教授)
授業の概要・目的 ベクトル束とその特性類についての基礎を講義する.ベクトル束とは位相空間の上にベクトル空間を並べたものであり,ベクトル束の特性類はベクトル束の大域的な「ねじれ」をはかるコホモロジー類である.この講義では位相空間と多様体の基礎に関する知識を前提にベクトル束の理論を解説し,Euler類・Chern類など代表的な特性類の性質について講義する.
到達目標 ベクトル束と特性類は数学の様々な分野に現れる基本的な対象である.特性類の基本性質に習熟するのみならず,具体例でいろいろと計算ができるようになることを目標とする.
授業計画と内容 この講義ではベクトル束とその特性類について,以下の事項を解説する.

1.ベクトル束の定義と性質,計量,接続(3・4回)
2.(ドラーム,チェック,特異)コホモロジーの復習(1・2回)
3.複素直線束のEuler類の様々な定義(1・2回)
4.ベクトル束のEuler類,切断のゼロ点集合との関係(1・2回)
5.Chern類の定義と性質,分裂原理(1・2回)
6.ベクトル束・主G束の分類空間(2・3回)
7.Stiefel-Whitney類,Pontryagin類(1・2回)
8.グラスマン多様体および旗多様体のコホモロジー(1回)
9.Chern-Weil理論(1回)
10. フィードバック(15回目)

カッコ内の授業回数は目安であり,受講者の理解状況や講義の進行状況に応じて変動する.また順番も前後することがある.
履修要件 位相空間や多様体の基礎事項を理解していること.位相空間については「集合と位相」,多様体については「幾何学I」「幾何学II」で扱う内容を理解していることを前提とする.
授業外学習(予習・復習)等 位相空間や多様体,(コ)ホモロジーに関する基礎知識を前提とする.足りない部分は上記の参考書等で補っていただきたい.
参考書等
  • Differential Forms in Algebraic Topology, Raol Bott & Loring W. Tu, (Springer),
  • 微分形式の幾何学, 森田茂之, (岩波書店),
  • Characteristic Classes, John Milnor & James Stasheff , (Princeton University Press),
  • 位相幾何学, 服部昌夫, (岩波書店),
  • 接続の微分幾何とゲージ理論, 小林昭七, (裳華房),