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現在位置: ホーム ja シラバス(2020年度) 理学研究科 数学・数理解析専攻 解析学特論B

解析学特論B

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科目ナンバリング
  • G-SCI11 90175 LJ55
開講年度・開講期 2020・後期
単位数 2 単位
授業形態 講義
配当学年 修士
対象学生 大学院生
使用言語 日本語
教員
  • 岸本 展(数理解析研究所 講師)
授業の概要・目的 調和解析・関数解析的手法に基づいた非線形分散型偏微分方程式の初期値問題の取り扱いに関する基礎事項を学修する.とりわけ1990年代以降発展した周期境界条件下での初期値問題を滑らかでない初期条件の下で解析する手法について学ぶことを目的とする.
到達目標 まずFourier解析の応用としてSobolev空間・Littlewood-Paley理論の基礎を学び,続いてSchrodinger方程式等の簡単な非線形分散型方程式を題材に,初期値問題の解の構成や解の一意性,正則性に対する様々な解析手法を学修する.これにより,当該分野における最近の研究論文を読むための基礎知識を習得するとともに,調和解析・関数解析の道具が偏微分方程式論においてどのように用いられているのかを理解する.
授業計画と内容 以下のテーマについてそれぞれ2~3回程度,合計15回の講義を行う.
1.準備(補間定理,Littlewood-Paley分解,Sobolev空間と埋蔵定理等)
2.時間局所解の構成(1)(初期値問題の適切性,エネルギー法等)
3.時間局所解の構成(2)(Strichartz評価,Fourier制限ノルム法等)
4.時間大域解の構成(保存量とアプリオリ評価,I-method等)
5.ノーマルフォーム変換とその応用(解の一意性,平滑化効果等)
6.関連する話題(初期値問題の非適切性,解の時間大域挙動等)
具体的なトピックは受講者の興味や理解度も加味して適切に決めることとする.
履修要件 Lebesgue積分論・関数解析・Fourier解析の基礎知識を仮定する.
授業外学習(予習・復習)等 数学の学修は積み上げが大切であり,各回の授業前に前回までの内容を理解しておくことが必要である.また講義中に内容を完全に理解できることはまれであるので,十分復習を行う必要がある.
教科書
  • 複数のトピックを講義するため,特定のテキストは指定しない.
参考書等
  • Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, E.M. Stein, (Princeton University Press), ISBN: ISBN:9781400883882
  • Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations, H. Bahouri, J.-Y. Chemin, and R. Danchin, (Springer), ISBN: ISBN:9783642168307
  • Dispersive Partial Differential Equations: Wellposedness and Applications, M.B. Erdogan and N. Tzirakis, (Cambridge University Press), ISBN: ISBN:9781316563267
  • Introduction to Nonlinear Dispersive Equations, F. Linares and G. Ponce, (Springer), ISBN: ISBN:9781493921812