Introduction to Geometry

Numbering Code U-SCI00 22104 LJ55 Year/Term 2021 ・ Second semester
Number of Credits 2 Course Type Lecture
Target Year 2nd year students or above Target Student
Language Japanese Day/Period Wed.3
Instructor name ITO TETSUYA (Graduate School of Science Associate Professor)
Outline and Purpose of the Course 微分積分・線形代数・位相空間論・初歩の群論を基に、幾何学の初歩を学ぶ。幾何学I、IIへの導入的な内容で、次の三つの項目をカバーする。

1.位相空間の被覆空間と基本群

2. 曲線と曲面の微分幾何学の基本的事項

3. ユークリッド空間に埋め込まれた多様体の初歩
Course Goals 1.位相空間の被覆空間と基本群の定義と基本性質を理解し、基本的な例を知る。

2.曲線と曲面の微分幾何学のうち、曲率など基本的事項を理解し具体例において計算ができる。

3.ユークリッド空間に埋め込まれた多様体について、その定義・接空間・多様体の間の滑らかな写像や接写像などの概念を理解し、具体例を知り計算ができる。
Schedule and Contents 以下の事項について解説する.およそ各項目を一回で行う。

(I) 基本群と被覆空間

* 写像・道のホモトピー
* 道の積と基本群の定義
* 基本群の性質
* 被覆空間の定義と例
* 基本群と被覆空間の関係
* Van Kampenの定理

(II) 3次元ユークリッド空間内の曲線・曲面

* 平面・空間内の曲線とその曲率
* 空間内の曲面の定義と例
* 曲面の第一基本形式
* 曲面の第二基本形式とガウス曲率

(III) ユークリッド空間内の多様体
 
* 陰関数定理・逆関数定理の復習
* 埋め込まれた多様体の定義と例
* 埋め込まれた多様体の接空間
* 多様体間の滑らかな写像とその微分
* 写像の正則値と関連した話題
Course Requirements 「微分積分学A,B」「線型代数学A,B」および「集合と位相」の基本的知識を前提とする.ただしこれらの講義を受講していなくてもかまわない.
また、基本群と被覆空間では群論のごく初歩を使う。
「代数学入門」の序盤を知っているとよい。
Study outside of Class (preparation and review) 具体例を知り、問題を解くことが理解を助ける。
特に、講義中扱う一部の命題の証明や、具体例の計算などは演習での問題として扱う予定なので、並行して開講する演習は理解に役立つ。
References, etc. 幾何学I 多様体入門, 坪井俊, (東京大学出版会)
Topology from the differential view points, J. Milnor, (Princeton Univ. Press)
曲線と曲面の微分幾何, 小林昭七, (裳華房)
トポロジー入門, 小島定吉, (共立出版)
参考書については講義中に適宜紹介する.また、この講義で扱う内容については文献が多数あるので、挙げた参考書以外のものを利用しても構わない。
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