Special Lectures (Differential Geometry I)

Numbering Code G-SCI11 90282 LJ55 Year/Term 2021 ・ Intensive, year-round
Number of Credits 1 Course Type Lecture
Target Year Master's students Target Student
Language Japanese Day/Period Intensive
Instructor name FUKUMOTO YOSHIHIRO (Part-time Lecturer)
Outline and Purpose of the Course ☆微分幾何学Ⅰ☆
3次元球面のホモロジー群と同型なホモロジー群をもつ有向3次元閉多様体はホモロジー3球面とよばれ,フリードマンの定理により,いつでもコンパクトで可縮な4次元位相多様体の境界として表される.ホモロジー同境は,この「可縮な4次元位相多様体」を「4次元球体のそれと同型なホモロジー群をもつ滑らかな4次元多様体」に置き換えたもので,このことはもはや一般には成立しない.またこのことは微分構造を許容しない4次元位相多様体の存在をも意味する.本講義では,滑らかな4次元多様体上で「モノポール」とよばれる物理的対象を記述する非線形偏微分方程式を考える「ザイバーグ・ウィッテン理論」への入門として,その基礎から概観し,ホモロジー同境の問題への応用を議論する.
Course Goals ザイバーグ・ウィッテン理論の設定の基礎となる概念や理論の機構を理解し,いろいろなホモロジー3球面を境界にもつ4次元多様体に対して,これを応用できるようになること.
Schedule and Contents 1. ベクトル束の接続と曲率,特性類
2. 4次元多様体の符号数とロホリンの定理
3. ザイバーグ・ウィッテン方程式
4. モノポール・モジュライ空間
5. ホモロジー同境の問題への応用
Course Requirements 多様体論の基礎を学習していることが望ましい
Study outside of Class (preparation and review) 授業中に出された例や演習課題などに自分で手を動かして取り組んでほしい.
References, etc. サイバーグ・ウィッテン理論とトポロジー, J. W. モーガン (著), 二木 昭人 (翻訳), (培風館)
"Pseudofree Orbifolds" Ann. Math., R. Fintushel, R. J. Stern, ( (1985))
特になし
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