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現在位置: ホーム ja シラバス(2020年度) 理学部 物理学教室 物理のための数学2 物理のための数学2

物理のための数学2 物理のための数学2

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科目ナンバリング
  • U-SCI00 22218 LJ57
開講年度・開講期 2020・後期
単位数 2 単位
授業形態 講義
配当学年 2回生以上
対象学生 学部生
使用言語 日本語
曜時限 木2
教員
  • 武末 真二(理学研究科 准教授)
授業の概要・目的 複素平面上の領域で微分可能な関数は正則関数と呼ばれる。実関数の場合とは異なり、正則関数は領域内の任意の点のまわりでベキ級数に展開できるなど美しい理論構造をもつ。また、関数が正則性を失う点(特異点)は、関数の性質について重要な情報を有し、積分計算等に有用である。これらは物理の理論計算においても必須の道具であり、物理学を理解する上で欠かすことはできない。本講義では、複素関数論の基礎について講義するとともに、具体的な問題に応用してさまざまな式変形や積分計算などができるように問題演習を重視する。
到達目標 複素関数の正則性がもたらすさまざまな性質を理解し、物理学を学ぶうえで必要となる関数の取り扱いについて精通することを目標とする。具体的には、関数のベキ級数展開、Laurent展開、部分分数展開、無限積表示、留数定理を用いた積分の計算など、理解するだけでなく、実際に道具として使いこなせるようになることを目指す。
授業計画と内容 (授業計画と内容)
以下の内容について講義を行う。ただし、進行状況によっていくつかのテーマを追加したり、省略することもある。講義は、数学を道具として用いることを念頭に、厳密性にはこだわらず、しかし論理の筋道は理解できるように行う。さらに、講義に合わせて演習を実施したりレポートを課して、実際に問題を解くことで理解を深めていく。

1. 複素数(複素数体,複素平面,Riemann球面,数列と級数,絶対収束,一様収束)【1週】
2. 正則関数(複素関数の微分,Cauchy-Riemannの方程式,ベキ級数で定義される正則関数,対数関数の主値)【2~3週】
3. 複素積分と Cauchy の積分定理(複素積分の定義,Cauchyの積分定理,Cauchyの積分公式,ベキ級数展開定理,Moreraの定理,Liouvilleの定理等)【2~3週】
4. 孤立特異点と留数定理(Laurent展開,孤立特異点の分類,留数定理,留数定理を用いた積分計算,偏角の原理等)【3~4週】
5. 解析接続(一致の定理,解析接続,一価性定理,分岐点,Riemann面等)【1週】
6. 関数の表現(有理型関数の部分分数展開,整関数の無限積表現等)【1~2週】
7. Γ関数とΒ関数【1週】
8. 漸近解析【1週】
履修要件 「物理学基礎論A・B」「微分積分学A・B」の内容を理解していることが必要である。
授業外学習(予習・復習)等 数学や物理学を学ぶということは、その論理を自分のものとすることである。したがって、講義で学んだ内容について復習し、定理の証明や計算を自分でやり直すことが欠かせない。単に覚えるのではなく、一つ一つの式変形について理解し納得するまで考えよ。小テストやレポートについても、受けて終わり、提出して終わりにするのではなく、間違えた箇所を訂正し、どういう論理で計算すればよいかを必ず確認すること。
参考書等
  • 複素解析, L.V.アールフォルス, (現代数学社), ISBN: ISBN:978-4768701188
  • 解析入門Ⅱ, 杉浦光夫, (東京大学出版会), ISBN: ISBN:978-4130620062