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現在位置: ホーム ja シラバス(2020年度) 理学部 数学教室 解析学特論I 解析学特論I

解析学特論I 解析学特論I

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科目ナンバリング
  • U-SCI00 44104 LJ55
開講年度・開講期 2020・後期
単位数 2 単位
授業形態 講義
配当学年 4回生以上
対象学生 学部生
使用言語 日本語
曜時限 月2
教員
  • 稲生 啓行(理学研究科 准教授)
授業の概要・目的 複素力学系の理論についての講義を行う。主にリーマン球面上の有理関数による力学系について、ファトゥ-ジュリア分解と、ジュリア集合・ファトゥ集合についての基本的な性質、また不動点や周期点の近傍での正規化問題などについて講義する。
到達目標 複素力学系に関する基本的な事柄を理解し、ジュリア集合やファトゥ集合の定義とその性質、線形化問題などの不動点のまわりの局所理論について理解する。
授業計画と内容 一変数複素力学系について下記の通り合計15回講義する (フィードバックも含む)。

1. リーマン面と双曲幾何、モンテルの定理 (2-3週)
単連結リーマン面と普遍被覆、双曲距離について、後で必要となる範囲に絞って概説する。また複素力学系における重要な道具であるモンテルの定理について解説する。
2. ジュリア集合とファトゥ集合とその性質 (2週)
ファトゥ-ジュリア分解と、ジュリア集合上の力学系の基本性質やジュリア集合の位相的性質などについて、例を交えながら解説する。
3. 不動点の局所理論 (5週)
不動点の乗数による分類、吸引・反発不動点の線形化、超吸引不動点のボッチャー(ベトヒャー)座標について解説する。時間が許せば、放物不動点の花弁定理とファトゥ座標についても概略を述べる。無理的中立不動点については基本的な事実を簡単に紹介する。
4. 周期点 (2週)
非反発周期点の有限性とファトゥ-宍倉の不等式、ジュリア集合が反発周期点の閉包に等しいことについて解説する。
5. 周期的なファトウ成分の分類 (3-4週)
ダンジョア-ウォルフの定理と、周期的なファトゥ成分の分類定理について解説する。時間が許せばサリバンの非遊走の非存在定理についても触れたい。
履修要件 微分積分学・函数論・位相空間論についての基本的な知識を仮定する。
授業外学習(予習・復習)等 講義時間内には説明できない証明や細かい計算については自習して理解することが望ましい。またマンデルブロ集合や様々なジュリア集合などを(既存のソフトウェアを利用したり、自分でプログラミングしたりして)描画し、現象を具体的に見ることは理解の大きな助けとなるであろう。
参考書等
  • Dynamics in One Complex Variable. Third Edition, John Milnor, (Annals of Mathematics Studies, 160. Princeton University Press), ISBN: ISBN:9780691124889
  • Iteration of rational functions, Alan F. Beardon, (Graduate Texts in Mathematics, 132. Springer-Verlag), ISBN: ISBN:9780387951515