コンテンツに飛ぶ | ナビゲーションに飛ぶ

  • 日本語
  • English
 
現在位置: ホーム ja シラバス(2020年度) 理学部 数学教室 幾何学I 幾何学I

幾何学I 幾何学I

JA | EN

科目ナンバリング
  • U-SCI00 33142 LJ55
開講年度・開講期 2020・前期
単位数 4 単位
授業形態 講義
配当学年 3回生以上
対象学生 学部生
使用言語 日本語
曜時限 水2・3
教員
  • 入谷 寛(理学研究科 教授)
授業の概要・目的 多様体について基本的な事項を説明する.
多様体は局所的にユークリッド空間と同一視される位相空間であり,高次元の空間概念としてもっとも確立されたものである.多様体は幾何学の基礎であるだけではなく,現代数学の多くが多様体上で行われるという意味で,現代数学全体の基礎でもある.
到達目標 多様体に関する基礎的な概念(局所座標,微分,ベクトル場,微分形式など)を理解し,自由に使いこなせるようになること.
授業計画と内容 次の内容を各々1-2回づつ,計15回講義する.適宜演習も行う.時間の許す範囲で発展的な内容にも触れる.

1.(ユークリッド空間に埋め込まれていない)多様体の定義
2.多様体上の滑らかな関数,多様体の間の滑らかな写像
3.接空間,多様体の間の滑らかな写像の微分,チェインルール
4.はめ込み,沈め込み,埋め込み,部分多様体
5.臨界点,正則値,サードの定理
6.射影空間
7.1の分割
8.ベクトル場とその積分曲線
9.余接空間,微分形式
10.外微分,積分,ストークスの定理

* 発展的内容:線形リー群,リー微分,内部積,カルタンの公式など.
履修要件 多変数関数の微積分学,線形代数学,位相空間論(集合と位相)は既知とする.ユークリッド空間に埋め込まれた多様体(幾何学入門)についてもなじみがある事が望ましいが,必須ではない.
授業外学習(予習・復習)等 予習は必要ないが,毎回復習することが望ましい.まず定義を覚え,様々な概念の関係を理解すること.また毎回出される演習問題については,計算を含めてしっかり復習すること.それによって理論がより身につくようになる.
参考書等
  • 多様体の基礎, 松本幸夫, (東京大学出版会),
  • 微分形式の幾何学, 森田茂之, (岩波書店),
  • 多様体入門, 松島与三, (裳華房),
  • 幾何学I 多様体入門, 坪井俊, (東京大学出版会),
  • 幾何学III 微分形式, 坪井俊, (東京大学出版会),