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現在位置: ホーム ja シラバス(2020年度) 理学部 数学教室 幾何学入門 幾何学入門

幾何学入門 幾何学入門

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科目ナンバリング
  • U-SCI00 22104 LJ55
開講年度・開講期 2020・後期
単位数 2 単位
授業形態 講義
配当学年 2回生以上
対象学生 学部生
使用言語 日本語
曜時限 水3
教員
  • 伊藤 哲也(理学研究科 准教授)
授業の概要・目的 微分積分・線形代数・位相空間論・初歩の群論を基に、幾何学の初歩を学ぶ。幾何学I、IIへの導入的な内容で、次の三つの項目をカバーする。

1.位相空間の被覆空間と基本群

2. 曲線と曲面の微分幾何学の基本的事項

3. ユークリッド空間に埋め込まれた多様体の初歩
到達目標 1.位相空間の被覆空間と基本群の定義と基本性質を理解し、基本的な例を知る。

2.曲線と曲面の微分幾何学のうち、曲率など基本的事項を理解し具体例において計算ができる。

3.ユークリッド空間に埋め込まれた多様体について、その定義・接空間・多様体の間の滑らかな写像や接写像などの概念を理解し、具体例を知り計算ができる。
授業計画と内容 以下の事項について解説する.およそ各項目を一回で行う。

(I) 基本群と被覆空間

* 写像・道のホモトピー
* 道の積と基本群の定義
* 基本群の性質
* 被覆空間の定義と例
* 基本群と被覆空間の関係

(II) 3次元ユークリッド空間内の曲線・曲面

* 平面・空間内の曲線とその曲率
* 空間内の曲面の定義と例
* 曲面の第一基本形式
* 曲面の第二基本形式とガウス曲率

(III) ユークリッド空間内の多様体
 
* 陰関数定理・逆関数定理の復習
* 埋め込まれた多様体の定義と例
* 埋め込まれた多様体の接空間
* 多様体間の滑らかな写像とその微分
* 写像の正則値と関連した話題

(IV) フィードバック・まとめ

* フィードバックとまとめ
履修要件 「微分積分学A,B」「線型代数学A,B」および「集合と位相」の基本的知識を前提とする.ただしこれらの講義を受講していなくてもかまわない.
また、基本群と被覆空間では群論のごく初歩を使う。
「代数学入門」の序盤を知っているとよい。
授業外学習(予習・復習)等 具体例を知り、問題を解くことが理解を助ける。
並行して開講する演義は理解に役立つ。
参考書等
  • 幾何学I 多様体入門, 坪井俊, (東京大学出版会),
  • Topology from the differential view points, J. Milnor, (Princeton Univ. Press),
  • 曲線と曲面の微分幾何, 小林昭七, (裳華房),
  • トポロジー入門, 小島定吉, (共立出版),